数値解析について

● 計算領域の定義について コンピューターを使ってシミュレーションをする場合、計算・解析の対象となる領域をメッシュで切ります。（要素分割とも呼び、オイラー系の手法と呼びます。一方、要素分割が不要のラグランジュ系の手法、例えば、粒子法というものもあります。）

メッシュで切った領域（要素）に、物理的な値（温度など）を持たせて計算しますが、その値を持たせる位置（節点：node）を、要素の中心にするか（内接点）、要素の頂点に設定するか（外節点）で、計算式が変わります。（流動計算の流速は、辺に持たせます）

注目

●節点

物理現象→微分方程式→差分式という流れで、数値解を解きます。
差分式にする時の展開の方法にはテーラー展開（有限差分法）などがあります。

● 凝固形式と凝固温度範囲 金属が固まる時に、その形式は主に２つあります。

　1.表皮形成型：純金属のように、凝固温度範囲が０か、狭い温度範囲を持つ合金(Skin formation)純銅、アルミニウム、青銅、黄銅、クロム銅など固相・液相が完全に分かれるため、収縮に対する溶湯補給が容易。適当な押湯を設けて欠陥を排除することが容易。

　2.かゆ状型（マッシー型）：温度範囲の広い合金に見られる凝固形態。りん青銅、すず青銅、洋白（Cu・Zn・Ni,500玉）などは、固相率が50～70%になるとかゆ状になり、生成したデンドライトの樹間に微細な収縮巣（ミクロポロシティ）が発生。冷金か金型を用い温度勾配を大きくとり、指向性凝固させる。Cu-Sn系合金では、かゆ状凝固により収縮巣の発生とSnの偏析、逆偏析が生じる。　

注目

デンドライト凝固

デンドライト凝固の場合は、ダルシー流れをモデルとして計算しています。（凝固形態を考慮した流動停止）

湯回り不良がどこで発生するのか予測するには
　1.溶湯（湯先）の温度の低下（固相率の上昇）
　2.鋳型内の圧力の上昇（背圧）
などを見るのが普通ですが、JSCASTでは、右の図のように金属の種類によって、さらに詳しく評価できるようになっています。（純金属、鋳鉄、合金で凝固形態が異なるため、凝固形態を選択できます）

鋳造設計の基本

鋳造シミュレーションの歴史

● 歴史 1960年代から凝固解析について研究されるようになり、1980年代初頭から普及し始めました。湯流れ解析については、Los Alamos 科学研究所などの研究機関で研究が開始され、1983年ピッツバーグ大学のW.S.Hwang、R.A.Stoehrらが、その成果を鋳造プロセスにおける溶湯流動過程に応用しています。その後の研究・開発によって、1999年頃には普及し始めており、今日の鋳造シミュレーションは実用的な品質予測のツールとして認知されてきています。JSCASTはパイオニアの一つです。

鋳造プロセスへのCAEの適用は、1960年代までさかのぼり、大型鋳鋼品の電熱解析から凝固解析を可視化するために利用されました。湯流れ解析は、流れの基礎方程式が凝固解析に比べると格段に複雑で、解析時間も膨大であることから、1980年代になりようやく着手されました。2000年以降は、パソコンでのCAD/CAMシステムの連携が進んだことから、モデルのメッシュ作成の負荷が激減し、普及が加速した経緯があります。

コンピューター上での仮想実験（シミュレーション、CAE）は、手書きの製図作業がパソコン上でのCADに置き換わることで、CAE・CADの統合が進み、発展しています。1950年代には、CAEは大変高価で、専門家だけが扱うブラックボックス的な面がありましたが、その後、差分法、有限要素法、境界要素法などの数値解析法を用いた様々なプログラムが開発され、適用領域もパソコンの性能と共に拡大していきました。（頂点モデル→ワイヤーフレームモデル→サーフェイスモデル→ソリッドモデルへと進化）

RP（Rapid Prototyping）という3DのCADで作成された形状データーから、現物の立体モデルを製造する手法も1980年代に光硬化性樹脂も用いた光造形法が発表されたのをきっかけに開発が進められ、3Dプリンタと呼ばれる積層造形機の特許、2007年に切れたために10万円台の安価な3Dプリンタが出回り、急速に普及し出しています。

● 基礎式について 連続の式（質量）、運動量保存式（速度）、エネルギー保存式（温度）の３つが基本です。
粘性を考慮した運動方程式がナビエ－ストークス方程式です。（Ｎ－Ｓ方程式）また、圧力を含めた、状態式を４つ目に加えることもあります。２成分以上から成る系では、拡散方程式を解くことになります。これらは偏微分方程式で記述されています。

x,y,zの直交座標系では、通常、時間を独立変数とし、速度、圧力、温度、濃度を従属変数（時間によって変化する）としていますが、従属変数を空間に固定された座標によって定義する表し方を、オイラー表示、各粒子ごとに定義する表し方をラグランジュ表示と言います。流れの場を解く場合は、任意の場の情報が必要なので、オイラー表示が都合が良いです。基礎式の導出は、分かりやすい直交座標系（x,y,z）を使うことが多いのですが、他の座標系へと変換する便宜性も考慮し、テンソル形式で併記されることもあります。

物理現象に対し、実際の物理モデルでなく、数学モデルは主として連立微分方程式によって構成されますが、実際に興味ある現象を予測することは困難で、限られた範囲のものしか解くことは出来ません（厳密解）。対象領域全てではなく、領域内の離散した格子の情報を得る、数値解法がパソコンの発達と共に強力な手法として採用されています。数値解法の場合、微分方程式ではなく、代数方程式を使うので簡単になります。実験と違って、低コスト、所要時間が短い、という利点があります。しかし、適切な数学モデルでなければ無意味です。

● 基礎式の表示について 基礎式は、それぞれ積分表示と、微分表示とがあります。一長一短です。歴史が古いのは微分表示で、積分表示は、有限体積法や有限要素法です。

鋳造シミュレーションの技術

● 数値計算法 基礎式を満足する数値を求める有限差分法（FDM）と、基礎式を満足する解の近似式を求める有限要素法（FEM）、境界条件を満足する解を求めるのが境界要素法（BEM）です。
数値解析は、個展的な応用数学（微積分を用いて定式家）と現代応用数学（離散数学）の接点にあります。計算の効率（手間と精度）を考慮に入れてプログラムを組みます。誤差には打ち切り誤差（無限を有限化）と、まるめの誤差（無限小数を有限桁にする）があります。古典的数値解析の中心課題に補間というものがあります。コンピューターが発達した現在では、古典的な凝った補間法が必要なのは比較的まれですが、数値積分・数値積分・常微分方程式の数値積分などの古典的な解法は補間公式から直接導くことが出来ます。
代表的な補間法に、ラグランジュ（Lagrange）補間、有限差分（Newtonの前進・後退公式、Gaussの前進・後退公式）などがあります。

● 各数値解析の特色 有限差分法（FDM）は、複雑な形状のものは難しく、有限要素法（FEM）は、熱流体現象の直接的な理解には不向き、境界要素法（BEM）は基礎式が特殊な場合に限られます。

● 基礎式の離散化 物理現象を表現している微分方程式を、離散化方程式に誘導する（差分法か有限要素法）方法はいくつかあります。代表的なものに、テーラー級数を用いる方法、変分法、重みつき残差法（ガラーキン法）、コントロール・ボリューム法（理解しやすい）などがあります。なお、コントロール・ボリュームの界面の取り方は格子点の位置関係でいくつか方法があります。
コントロール・ボリューム法は、通常、直交座標を使います（フランスの哲学者のデカルト「Des Cartes」にちなんで、なので、カーテシアン座標とも呼ぶ）が、二次元極座標のように、どのような直交座標系でも使えます。

速度成分に対しては、スタッガード格子がよく使われます。スタッガード格子は最初、1965年にMAC法によって使われ、1972年のSIVA法、SIMPLE法の基礎になっています。

基礎式を数値解析するために離散化し、連立方程式を解きます。未知数が時間のみの陽解法、未知数が空間、時間にまたがる陰解法があります。陽解法、陰解法、それぞれ、離散化は、前進オイラー法（オイラー陽解法）、後退オイラー法（オイラー陰解法）とよばれます。解の収束性については、陽解法よりも陰解法の方が解が安定になります。なお、陽解法と陰解法の間に、クランク・ニコルソン法があり、多くの条件で安定しています。常微分方程式の数値解析は、テーラー（Taylor）級数を用いる方法の他、ルンゲ・クッタ（Runge-Kutta法）が用いられます。

流れの場を計算するアルゴリズムについては、大きく分けて2つあります。1つ目はMAC（Marker-and-Cell）法に基づく系統（陽解法）であり、2つ目はSIMPLE（semi-implicit method for pressure linked eqation）法に基づく（半）陰的な解法です。また、MAC法を簡略化したSMAC（Simplified MAC）法や、MAC法で解いた圧力に関するポアソン方程式をニュートン法で解くHSMAC（Highly Simplified MAC）、或いはSOLA（solution algorithm）法もあります。SIMPLEを収束性が上がるように改良したのが、SIMPLER法（SIMPLE Revised）です。

流体の流れによって、対流が発生します。対流項（そして拡散項）を計算する場合、中心差分で解くのは不向きの場合があります。その解決法として、風上差分、解析的に解く、厳密解（指数法）、ハイブリッド法、べき乗法などがあります。

● 方程式の解法 連立方程式は、Gauss-Seider（ガウス－ザイデル）法、SOR法、共役勾配法等で解きます。
分類として、直接法（LU分解、ガウスの消去法、Gauss-Jordan（ガウス－ジョルダン法））、間接法（ヤコビ法、ガウス－ザイデル法、SOR法（Successive Over-Relaxation）の二つがあります。その他、クロリフ部分空間法（共役勾配法、共役残差法、安定化双共役勾配法（Bi-CGSTAB））があります。
直接法は、丸め誤差がなければ厳密解を得ることが可能ではありますが、格子の数の行列を使う大規模な計算となるので、必要なメモリーが膨大になり、計算時間もかかるので、実用的ではありません。そこで、偏微分方程式を差分法によって離散化して解くことになります。
ガウスの消去法を発展させたのがLU分解で、有限回数の演算で解を求めることが出来ますが、係数マトリクスの次元が大きくなると、大きなメモリー、多数の演算回数が必要となり、計算時間が膨大になります。一方、連立方程式の解を修正しながら解を求める方法があり、反復法と呼ばれます。効率的に解を求めることができます。
有限要素法で用いられる反復法としては、共役勾配法が代表的で、並列計算処理も可能となって、効率的に解を得られることが期待できます。

方程式を直接法（TDMA：三重対角行列アルゴリズム）で解くと、かなりのメモリー量と時間が必要となりますので、反復法を使います。反復法には、一番簡単な、ガウス－ザイデル法の他に、SIP法（StronglyImplicit Procedure）などがあります。直接法とガウス－ザイデル法を組み合わせた線順法も知られています。

● CAEを利用した計算の流れ（モデルの構築を観察に合うまで繰り返します） ３Ｄモデルの作成 → メッシュ分割 → 条件設定 → 計算 → 結果出力 → 評価 → （思わしくない場合は、形状の変更、条件の変更を繰り返し） → 完了、です。

A.メッシュ分割：有限要素法（FEM）、差分法（FDM）に大別されます。（メッシュの不要な粒子法も出てきています）FEMは形状の再現性、解析結果の精度は良いが、解析モデルの作成が難しいという欠点もあります。FDMは、解析モデルの作成が容易、計算速度も速いのですが、形状再現性と、解析精度に難があると言われています。FEMでも、メッシュをうまく作成しなければ、良い結果を得ることが出来なくなります。（大事ですが、見落とされています）

B.条件設定：金属の密度、動粘性係数などの物性値、溶湯や金型の温度の初期条件、溶湯／金型間の熱伝達係数などの境界条件、溶湯の解析条件を設定しますが、あまりに現象に忠実にしようとすると、解析が複雑になり、計算時間が長くなり、計算が収束しなくなる（発散する）ので、目的に合う条件設定をします。

C.計算：計算を行う部分は、ソルバーと呼ばれます。湯流れと凝固解析を一緒に計算する連成解析や、組織予測、熱応力解析など、様々なソルバーがあります。凝固欠陥の予測法には、主に等温度法、G/√R法、直接シミュレーション法（定量予測も可能。マクロひけ巣、ざく巣などの位置と大きさまで正確に予測可能）があります。弾塑性解析（Elastic-Plastic Analysis）も可能です。

D.結果の出力：数値解析結果を、可視化する部分で、ポスト・プロセッサと呼ばれます。湯流れ解析の場合は充填状況や速度分布、凝固解析の場合、温度勾配、凝固時間などが表示されます。

E.評価：実際の欠陥の発生位置と湯流れ解析の結果を照合します。具体的には最終充填部の位置、湯境やガス巻き込み（ブローホール）の関連の検討などです。ポロシティの位置や定量分析などの評価もJSCASTで可能です。

F.繰り返し（形状、条件変更）：解析結果を参考に、モデル形状、条件、要素サイズなどを変更し、再解析します。自動化（AI）の適用が検討されています。

G.解析の種類：湯流れ解析（湯境、ガス欠陥（ブローホール））、凝固解析（引け巣の発生の予測には、等固相率法、等温度法、凝固時間法、温度勾配法）、変形、金型温度解析（焼きつきの発生を予測する）などがあります。
鋳造シミュレーション（CAE）に対する不満は、1位予測精度（29%）、2位欠陥判定基準（26%）という統計があります（2006年度鋳造CAE研究部会）。この傾向は、性能が上がった現在（2018年）でも変わらないようです。
ダイカストでは、品質や生産性の50%が製品形状、30%が鋳造方案で支配され、残り20%が鋳造条件（作業を含む）だと言われます。また、ダイカストは製品形状を含めた金型で80%が決定するとも言われます。

鋳造方案について

● 優れた鋳物製造のために必要な10のルール（John Campbell教授） 　1.良い溶湯の準備
　2.湯面の乱れをなくすこと
　3.表面酸化物の取り込みをなくすこと
　4.気泡の取込をなくすこと
　5.中子ガスを逃すこと
　6.引け巣対策（押湯設計）
　7.溶湯の対流防止
　8.偏析防止
　9.残留応力の低減
　10.寸法基準点の正しい設定

上記のうち、2～7までが鋳造方案に関係するもの。鋳造欠陥の8割は注湯時の湯面の乱れによるものです。
参考図書：「基礎から学ぶ鋳造工学」（日本鋳造工学会）

● 鋳造方案 鋳造品を製作するための生産設計を「鋳造方案」と呼びます。
鋳鉄などでは、冷却速度が早過ぎるとチルや割れ等の欠陥が生じやすく、アルミニウム合金では、冷却速度が早い方がポロシティ欠陥が発生しにくいです。

● 方案に正解はない 1.堰の設置位置
2.湯道の形状（湯流れの方向性）
3.押し湯のサイズ、位置
4.湯口、湯口底、湯道
　（断面積など　湯口：湯道：堰総断面積）

● 方案の自動設計の注意点（ソフトを信じてはいけない） シミュレーションソフトの自動設計に慣れると、最終充填部・最終凝固部しか見ないようになる傾向があります。
現象のメカニズムの理解し、過程が分からないといけません。
そのためにも、特に商用の鋳物の場合は、ミニマムコストが要求され、仕上げの様子など（中子と仕上げはコストに関係する）現場を見ないと分からないことも含めて、色々な検討が必要になります。

● 凝固設計について 　製品の薄肉部→厚肉部→押湯の順に凝固を終了させます（指向性凝固）
　1.押湯の場所と個数有効範囲の表を参考にする
　2.押湯の種類と形状

　3.押湯の寸法：押湯方程式というものがある。モジュラスM（M=V（体積）/S）を使って凝固時間を表現した、クボリノフの式がある。

　4.冷や金の設計：指向性凝固によってホットスポットの位置を変更できる。

　5.肉厚こう配による押湯の省略も可能。

参考図書：「大学講義シリーズ24 溶融加工学」（コロナ社、大中逸雄・荒木孝雄 共著）

● 湯口設計について（流動設計） 　1.湯口系の種類の選択

　2.湯道、堰の数、位置寸法：溶湯が均等、迅速に流入するようにする

　3.湯口比：湯口断面積の設計。加圧方式（鋳鉄系）・非加圧方式（Ai,Mg合金）

　4.鋳込速度、鋳込温度：速い→砂かみ、のろかみガス欠陥、鋳型破損
　　遅い→湯まわり不良湯じわ、照らされ
　　高い→ガス、ひけ巣欠陥

▼注湯時に生じる鋳型破損の例

溶湯流により、鋳型の一部が欠ける → 飛ばされ、鋳型の一部がえぐられる → 荒され（洗われ）鋳型と溶湯が反応する → 焼着き

　5.ヘッドの有効高さ：有効ヘッドの高さをベルヌーイの式に適用して、湯口比、鋳込時間を使って、湯口系の断面積が決定される

鋳造欠陥について

● 凝固欠陥として 　1.ミクロ偏析
　2.マクロ偏析（正偏析・負偏析、正常偏析・逆偏析、V偏析逆V偏析・A偏析）
　3.気孔欠陥（ガス気孔欠陥、ひけ巣欠陥）
　4.高温割れ
　5.その他の欠陥（組織欠陥、介在物欠陥、高温変形）
などがあげられます。ここでは特に「気孔欠陥」についてとりあげています。

SEM（走査型電子顕微鏡）を使って、欠陥内部の拡大画像が得られ、やEDS（エネルギー分散型X線分析）を使って、成分の分析をします。

鋳造欠陥の名前、鋳造法、金属の種類、要因、対策の順番で書いてあります。
（対策は方案で出来るものを優先）

●内引け巣、低圧鋳造、アルミ合金（AC2B） 右は拡大写真。その部位が速く冷却されるようにします。

鋳鉄などでは、冷却速度が早過ぎるとチルや割れなどの欠陥が生じやすく、
アルミニウム合金では、冷却速度が早い方がポロシティ欠陥が発生しにくいです。

● 内引け巣、生型、ねずみ鋳鉄（FC300） 中子ガスの発生による欠陥。押湯設計、冷やし金の活用です。

● ざく巣、フルモールド鋳造、球状黒鉛鋳鉄（FCD600） 凝固時の体積収縮による溶湯供給不足、鋳込み温度を上げます。

● ざく巣、フルモールド鋳造、球状黒鉛鋳鉄（FCD450） 鋳込み温度が低いと集中型、高いと分散型になります。
（上：1398℃、下：1453℃）
鋳込み温度を低くし、冷やし金を使って指向性凝固させます。

● ガス吹かれ(ブローホール) シェルモールド鋳造、ねずみ鋳鉄（FC250） 粘結剤を減らし、空気およびガス抜きを適切にしました。

● ピンホール（残渣がスラグ化） 生型鋳造 球状黒鉛鋳鉄（FCD450） 黒鉛球状化剤の残渣。球状黒鉛化処理温度、出湯温度を上げました。